• Научные исследования

  Николай Николаевич Яненко был ученым с очень широким диапазоном интересов. Начав свою научную деятельность в области геометрии, где были получены значительные результаты, он внес большой вклад в развитие новых направлений математики, связанных с вычислительными системами и приложениями. Среди специалистов по прикладной математике, механике и главных конструкторов он имел высочайший авторитет. Результаты его исследований получили высокую оценку и у зарубежных коллег.

  Николай Николаевич Яненко — автор и соавтор более 400 публикаций, в том числе 17 монографий, подводящих итоги работ по отдельным направлениям исследований

• Исследования в геометрии

  Путь Н.Н. Яненко-математика начался в одном из самых абстрактных разделов науки — в дифференциальной топологии. Как ученый Николай Николаевич сформировался под влиянием своего учителя — профессора П.К. Рашевского.

  Темой исследований Н.Н. Яненко стала классическая проблема дифференциальной геометрии — проблема изгибания поверхностей.

  Ее основные положения — признаки изгибаемости поверхностей в 𝑛-мерном евклидовом пространстве — сформулированы Э. Картаном. Его метод, сложный и труднодоступный, в деталях был знаком немногим специалистам-геометрам.

  Николай Николаевич овладел им в совершенстве. Результаты исследований Николая Николаевича, изложенные в его кандидатской (1949) и докторской (1954) диссертациях, позволили дать законченную теорию признаков изгибания, что после основополагающих работ Картана, Томаса и Аллендорфера, по сути, завершило развитие этого направления дифференциальной геометрии.

• Прикладная математика

  В 1948 году Николай Николаевич начал работать в группе академика А.Н. Тихонова над новыми прикладными задачами. Это была эпоха решения ядерных и ракетных проблем страны — легендарные времена становления современной прикладной и вычислительной математики. Ряд идей и методов из геометрии пригодился и в приложениях.

  Несмотря на то, что исследования Яненко по геометрии были связаны с изучением систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих свойства геометрических объектов, Николай Николаевич продолжал заниматься изучением нелинейных дифференциальных уравнений и их решений и далее, однако новой областью приложений стали механика, физика.

  Это один из редких случаев, когда абстрактный математик, геометр смог быстро и высокопрофессионально войти в неизвестные ему разделы науки и добиться значительных результатов.

• Дифференциальные уравнения

  Один из общих методов выделения частных решений систем дифференциальных уравнений — это метод дифференциальных связей, идея которого впервые была высказана Н.Н. Яненко на IV Всесоюзном математическом съезде.

  В методе дифференциальных связей выделение частных решений осуществляется путем присоединения к основной системе дополнительных дифференциальных соотношений (связей). Полученная таким образом переопределенная система уравнений исследуется на совместность.

  В ходе анализа система дополняется новыми дифференциальными соотношениями до приведения ее либо к инволюции, либо к противоречию. Как правило, искать решения расширенной системы легче, чем исходной.

  С помощью метода дифференциальных связей Николаю Николаевичу Яненко совместно со своими коллегами и учениками удалось решить ряд одномерных и многомерных задач механики сплошной среды.

  В области дифференциальных уравнений Николаем Николаевичем опубликовано свыше 50 работ, в том числе четыре монографии.

• Метод дробных шагов

  Центральное место в научной деятельности Н.Н. Яненко занимали исследования по численным методам математической физики, начатые им в 1949 году.

  В этой области им опубликовано свыше 150 работ.

  
  

  Главным достижением Н.Н. Яненко в вычислительной математике является создание метода дробных шагов, который стал итогом десятилетнего цикла работ и обобщен Николаем Николаевичем в монографии «Метод дробных шагов» (1967).

  Монография мгновенно была переведена на английский, французский и немецкий языки и также стала у нас в стране настольной книгой вычислителей, определившей многие направления исследований в последующие годы.

• Метод слабой аппроксимации

  Следует особо отметить вклад Н.Н. Яненко в развитие теории разностных схем.

  К важнейшим достижениям ученого необходимо отнести теоретическое обоснование метода расщепления, который удалось представить как слабую аппроксимацию исходного дифференциального уравнения некоторым другим, более простым.

• Сетки

  Решение задач гидроаэродинамики в сложных областях потребовало развития новых методов построения расчетных сеток.

  Дополняя исходную систему дифференциальных уравнений уравнениями для управления сеткой, Н.Н. Яненко рассматривал задачу построения разностной сетки как задачу построения дифференциального отображения, соответствующего состоянию всего потока в целом, что позволило сформулировать понятие информационной среды как совокупности исходных дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс, и уравнений для управления сеткой, автоматически адаптирующейся к потоку.

  Это позволило в конечном счете на порядок повысить точность расчетов.

• Методы решения задач гидроаэродинамики

  Под руководством Н.Н. Яненко были начаты систематические исследования по моделированию задач аэродинамики в приближении уравнений газовой динамики, полных и упрощенных уравнений Навье – Стокса сжимаемого теплопроводного газа.

  При решении задач газовой динамики Н.Н. Яненко предложил новые способы построения разностных схем, основанные на методе предиктор-корректор, когда на этапе предиктора исходные уравнения аппроксимируются в недивергентном виде, а свойства консервативности достигаются использованием корректора.

• Метод дифференциального приближения

  Н.Н. Яненко считал, что надо стремиться к получению алгоритмов с заданными свойствами, для чего необходимы методы качественного исследования разностных схем. Им высказана идея использования дифференциального приближения разностных схем для количественного и качественного анализа их свойств.

  Эта идея затем реализовалась в методе дифференциального приближения, суть которого состоит в замене исследования свойств разностных схем исследованием некоторых дифференциальных уравнений (называемых дифференциальным приближением), получаемых специальным образом из разностной схемы и занимающих промежуточное положение между исходными дифференциальными и разностными уравнениями.

  Метод дифференциального приближения позволяет изучать свойства устойчивости, дисперсии, диссипации, консервативности и инвариантности разностных схем, а также строить схемы с заранее заданными свойствами.

• Дифференциальные анализаторы

  Проблему разработки экономичных численных методов решения нелинейных уравнений механики сплошной среды Н.Н. Яненко рассматривал в комплексе с проблемой эффективного использования получаемых на ЭВМ численных результатов.

  В частности, при решении задач газовой динамики с применением конечно-разностных схем сквозного счета он предложил определять положение ударных волн в размазанных профилях с помощью специальных алгоритмов, названных им дифференциальными анализаторами.

  Еще в начале 1960-х годов в основу этих алгоритмов Н.Н. Яненко предлагал положить определение фронтов волн как точек, в которых величина искусственной вязкости достигает своего максимума. Он явился инициатором разработки алгоритмов дифференциальных анализаторов и алгоритмов локализации особенностей при численном решении задач гидродинамики.

• Разностная схема как самостоятельный объект

  Исследования разностных схем, аппроксимирующих различные классы уравнений математической физики, приводят Н.Н. Яненко к расширению понятия схемы. Впервые он начинает рассматривать разностную схему как самостоятельный объект исследования, как математическую модель, адекватную той или иной физической модели. Это фундаментальное положение основано на глубоком понимании основ дифференциального и интегрального исчисления, базовых принципов механики сплошных сред.

  
  

  Действительно, физико-математические модели, описываемые дифференциальными, интегральными или интегродифференциальными уравнениями, получают из дискретных моделей путем осреднения и предельного перехода по тем или иным параметрам. Это имеет место, например, в модели сплошной среды, где для достаточно большого числа элементов в единице объема путем осреднения и предельного перехода по объему приходят к понятию сплошной среды. При построении разностных аппроксимаций делается обратная операция — переход к дискретной среде. Следовательно, можно трактовать разностную схему как самостоятельную математическую модель, обладающую теми или иными свойствами.

• Технологическая цепочка математического моделирования

  Исследования разностных схем, аппроксимирующих различные классы уравнений математической физики, приводят Н.Н. Яненко к расширению понятия схемы. Впервые он начинает рассматривать разностную схему как самостоятельный объект исследования, как математическую модель, адекватную той или иной физической модели. Это фундаментальное положение основано на глубоком понимании основ дифференциального и интегрального исчисления, базовых принципов механики сплошных сред.

  Действительно, физико-математические модели, описываемые дифференциальными, интегральными или интегродифференциальными уравнениями, получают из дискретных моделей путем осреднения и предельного перехода по тем или иным параметрам. Это имеет место, например, в модели сплошной среды, где для достаточно большого числа элементов в единице объема путем осреднения и предельного перехода по объему приходят к понятию сплошной среды. При построении разностных аппроксимаций делается обратная операция — переход к дискретной среде. Следовательно, можно трактовать разностную схему как самостоятельную математическую модель, обладающую теми или иными свойствами.

• Интервальный анализ

  Н.Н. Яненко был одним из инициаторов исследований по интервальной математике в нашей стране. Это интересная и своеобразная область теоретической и прикладной математики.

  Первоначально аппарат интервального анализа использовался как средство контроля ошибок округления на ЭВМ при решении ряда прикладных задач, требующих высокой точности (таких как расчет траекторий), а затем развился в самостоятельную ветвь прикладной математики.

  В этом направлении Николаю Николаевичу принадлежит только одна публикация, однако во многих своих лекциях, докладах, статьях он упоминал и пропагандировал интервальный анализ и своим вниманием инициировал исследования в этой области.

Шокин Ю.И. К 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко //
Вычислительные технологии. – 2021. – Т. 26, №1. – С. 4-20.